Bien que ce ne soit pas indispensable, il est d'usage dans les cours de calcul intégral d'introduire la notion d'intégrale indéfinie.
Définition 1. Soient $I$ un intervalle ouvert et $f$ une fonction continue sur $I$. On appelle intégrale indéfinie de $f$ sur $I$ la famille des primitives de $f$ sur $I$. Cette intégrale indéfinie est notée
$\int f(x)~dx$.
Puisqu'on sait que toutes les primitives de f sur $I$ diffèrent seulement par une constante, on a le résultat suivant :
Proposition 1. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle ouvert $I$ et soit $F$ une primitive quelconque de $f$ sur $I$. On a
$\int f(x)~dx = F(x)+C~(x \in I)$
où $C$ est une constante non fixée.
Exemple 1. $\int x^3~dx = \frac {1} {4} x^4+C$.
Remarque 1. On qualifie la constante $C$ de la proposition de « constante arbitraire ».
Remarque 2. Contrairement à l'intégrale définie, l'intégrale indéfinie est fonction de la variable $x$.
Voici une courte table des intégrales indéfinies les plus courantes :
| $f(x)$ | $\int f(x)~dx$ |
|---|---|
| $x^n$ ($n \ne -1)$ | $\dfrac {x^{n+1}}{n+1}+C$ |
| $\dfrac {1}{x}$ | $\ln |x|+C$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ |
| $\sin x$ | $-\cos x+C$ |
| $\cos x$ | $\sin x+C$ |
| $\dfrac {1}{\cos^2 x}$ | $\text{tg}~x+C$ |
| $\dfrac {1}{\sin^2 x}$ | $-\text{cotg}~x+C$ |
| $\dfrac {1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\text{arcsin}~x+C$ |
| $\dfrac {1}{1+x^2}$ | $\text{arctg}~x+C$ |
Exercice. Calculez l'intégrale indéfinie de chacune des fonctions suivantes :
| a) $x^3+2x\sqrt{x}+\dfrac{5}{x}$; | b) $\dfrac{1}{\cos^2(7x)}$; | c) $\dfrac{e^{3x}+e^{-3x}}{2}$; | d) $11\left(e^{5x}\right)^2-8e^{7x}e^{2x}$; |
| e) $\dfrac{1}{\sqrt{1-9x^2}}$; | f) $\dfrac{1}{1+4x^2}$; | g) $\dfrac{1}{\sqrt{9-16x^2}}$; | h) $\dfrac{1}{25x^2+4}$. |